1+2+3+4+5+6+…等于负数？

欧拉证明了自然数之和是个负数：

1+2+3+4+5+6+...+∞=-1/12

搜索了一下，貌似很多人都说是这个结果。不过我咋看咋有问题，因为这太违反常识了！

我们做个假设，你是一个超超超超超超宇宙级的园丁，收获时节到了，你数着自己遍布超超超超超超宇宙的苹果，1个,2个,3个,4个,5个,6个，...，∞个，你很开心！但是下一眼，你的苹果消失了！什么也没有了！真是怪事！

你可能会说，数学是形而上的学科，怎么能用苹果来说呢？毕竟超超超超超超宇宙的苹果，也不能无穷多个吧？

好吧，我承认，我只是用苹果做了个比喻。

我们先来看看网络上的证明过程：

（1）S1=1+2+3+4+5+6+...

（2）S2=1-2+3-4+5-6+...

（3）因为S1-S2=1-1+2+2+3-3+4+4+5-5+6+6...

（4） =0+4+0+8+0+12....

（5） =4+8+12...

（6） =4（1+2+3+...）（提取4倍数）

（7）带入S1=1+2+3+4+5+6+...

（8）所以S1-S2=4S1，S1=-S2/3

（9）因为S2+S2=（1-2+3-4+5-6+...）+（1-2+3-4+5-6+...）

（10）2S2 =1-2+3-4+5-6+...

（11） +1-2+3-4+5-6+...（错位相加）

（12） =1-1+1-1+1-1+1...

（13）再将2S2+2S2=（1-1+1-1+1-1+1...）+（1-1+1-1+1-1+1...）

（14） =1-1+1-1+1-1+1...

（15） +1-1+1-1+1-1+1...（错位相加）

（16） =1

（17）所以4S2=1，S2=1/4

（18）带入S1-S2=4S1，最终得到S1=-1/12

（19）所以，1+2+3+4+5+6+...=-1/12

附加证明过程：

证明1

证明2

我承认，第一次看到这个证明的时候，感觉似乎没有问题，但是又提笔算了一阵子，感觉问题挺大的。我起码有一个疑惑：如果自然数都是正整数，它如何变成了负数？

难道阳盛必衰？物极必反？

数学虽然不是自然科学，但也不至于这么玄乎吧？

想了半天，我还是觉得不妥——

既然S1是自然数之和，那么这些数必然是奇数或偶数，或者说它是变动的，因为它加到了无穷大，它可以随时变化，它可以既是奇数也是偶数，它是薛定谔的猫。

我们用n来表示它。

当n是奇数的时候：

S1=1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)

S2=1-2+3-4+5-6+...+n-（n+1）

S1-S2=[1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)]-

[ 1-2+3-4+5-6+...+n-（n+1）]

=(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+...+(n-n)+2(n+1)

=0+4+0+8+0+12+...+0+2(n+1)

=4[1+2+3+...+（n+1）/2]（提取4倍数）

我们发现：1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)和[1+2+3+...+（n+1）/2根本不是一个东西，它们不能互相替换，因此S1-S2并不等于4S2！也就是说，上面的步骤（7）是有问题的！

同理，当n是偶数的时候：

S1=1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n

S2=1-2+3-4+5-6+...+（n-1）-n

S1-S2=[1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n]-

[1-2+3-4+5-6+...+（n-1）-n]

=(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+...+[(n-1)-(n-1)]+(n+n)

=0+4+0+8+0+12+...+0+2n

=4(1+2+3+4+...+n/2)

这个1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n也不等于(1+2+3+4+...+n/2)！

所以，我们得出S1-S2=4S1。

另外，S2也不会等于1/4：

用数列的方式来说：S1相当于n+1或n个数的数列，而S1-S2提取4倍数后的项相当于（n+1）/2或n/2个数的数列，它们在数的多少上就不一样，又如何能互相替代？

如果非要错位相加，那么它也不一定是1/4，因为两个一模一样的2S2，它的自然数项一定是相同的，错位相加消除后面的所有项只会遗漏第二个2S2的最后一项，就像你只记得第一个2S2的第一项一样。

通过（12），我们已经知道2S2=1-1+1-1+1-1+1...

它自己就可以求出结果：或者2S2=2，或者2S2=0。

下面的表格可以表明：

+1

1

-1

+1

-1

...

+1

1

-1

+1

-1

...

+1

-1

1

-1

+1

-1

...

-1

1

-1

+1

-1

...

-1

你会说，人家是无穷大，后面多个项少个项并不影响最终的大小，甚至还能彼此互相取消。从某种意义上说，的确如此。不过我们需要明白的是，如果n是一个正整数，那么n+1永远比n大！尽管它们都可以是无穷大！

这就好像，两道光从恒星出发，朝着同一个方向赛跑，同样是光速，但是第一道光先比第二道光出发一秒钟，也它们会跑一万年一亿年甚至更久，但只要不出意外，只要它们一直在跑，第一道永远比第二道跑得远。

其实，∞是分阶的，同阶的无穷大是一样大，没有可比行。理论和事实都是∞=∞+1，但不能说0=1。

许多人都觉得1不等于0.99999……，大家认为它俩差个0.000……1。但其实它俩相等，因为把它俩同除以3后，1/3等于0.3333……。想明白这个，或许能明白∞=∞+1。

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