在什么情况下，1+1不等于2？这个问题有正经回答：布尔代数
在什么情况下，1+1不等于2？
我先声明一下，这不是脑筋急转弯，而是正经数学：布尔代数。
1+1=1
这就是布尔代数（逻辑代数），我刻意使用了“1+1”，而不是“一加一”，就是因为这里的“+”并不是算数运算，而是逻辑运算。
一些读者可能会觉得这比脑筋急转弯还要贱，不过这真的是正经数学。
手机前的你，能用上手机，还多亏了布尔代数。一切程序代码、硬件电路的底层逻辑都是0和1，而0和1的底层逻辑就是：布尔代数。
可以说：计算机，建立在布尔代数之上。不管多么高端的芯片，都只是在执行布尔代数。
布尔代数，是英国数学家乔治·布尔（G.Boole）在19世纪中期提出的理论。
乔治·布尔无论如何都想不到，他发明的这门数学，直接给20世纪的计算机科学铺平了道路（顺便也成了一部分大学生的噩梦）。
布尔代数本身还是很复杂的，只不过人们通常提到的布尔代数都是：关于0和1的代数。
就像学常见的“代数”之前，需要先学“算数”一样。在正式介绍“布尔代数”之前，必须先介绍“布尔算数”，也就是关于逻辑的算数。
通常的算数，使用的数字是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
逻辑算数，使用的数字只有：0、1。
布尔代数中的0和1，是在表示“真”和“假”，把逻辑关系变成数学运算。
通常的算数，经常使用的运算有：加、减、乘、除。
逻辑算数，经常使用的运算有：与、或、非。
在文章开头提到的“+”，表达的运算就是“或”。典型例子就是“连代责任”：只要有一个人犯错，所有人都受罚，这就是“或”的思想。
当然，表示“或”的符号不只有“+”，本文采用了数字电子技术中的表示方法。
“与”、“或”、“非”，其实都可以用“连代责任”来理解。
假设只有两个人，“连代责任”可以理解成：只要有一个人犯错，两个人都要受罚，这就是“或”的思想。
如果：
1表示单个人犯错，0表示单个人不犯错。
1表示受罚，0表示不受罚。
只要有一个人犯错，两个人都要受罚，用逻辑算数表示就是：
1+1=11+0=00+1=00+0=0如果用逻辑代数表示上面的式子，可以用A、B分别表示单个人是否犯错，用C表示是否受罚，只需要一个式子：
A+B=C
只有当A=B=0的时候，C=0，两个人都不用受罚。
还可以画成“真值表”：
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
假设只有两个人，“连代责任”还可以理解成：两个人都不犯错，才能不受罚，这就是“与”的思想。
如果：
1表示单个人不犯错，0表示单个人犯错。
1表示不受罚，0表示受罚。
两个人都不犯错，才能不受罚，用逻辑算数表示就是：
1·1=1
1·0=0
0·1=0
0·0=0
如果用逻辑代数表示上面的式子，可以用A、B分别表示单个人是否犯错，用C表示是否受罚，只需要一个式子：
A·B=C
也可以省略“·”，写成：
AB=C
只有当A=B=1的时候，C=1。
还可以画成“真值表”：
A
B
AB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
这就更简单了。
犯错的“非”，就是：不犯错。
不犯错的“非”，就是：犯错。
还有：
受罚的“非”，就是：不受罚。
不受罚的“非”，就是：受罚。
用逻辑算数表示“非”就是：
1‘=0
0’=1
也可以使用代数的思想，画成“真值表”：
A
A'
0
1
1
0
通常的算数，只学会“加减乘除”还不够，还需要知道运算定律，比如：加法交换律、加法结合律、……
布尔代数也是如此，可以认为有四种运算定律：
交换律
结合律
反演律
分配律
布尔代数默认先进行“非”运算，再进行“与”运算，最后进行“或”运算。有括号的时候，先算括号里面的式子。
交换律：
A+B=B+A
AB=BA
结合律：
(A+B)+C=A+(B+C)
(AB)C=A(CB)
反演律：
(A')'=A
分配律：
A(B+C)=AB+AC
(A+B)'=(A')(B')=A'B'
(AB)'=(A')+(B')=A'+B'
上面的很多公式都和通常的算数运算定律一样，这也是用“+”表示“或，用“·”表示“与”的原因。
上面的公式中的：
(A+B)'=A'B'
(AB)'=A'+B'
也被称为“摩根律”，和通常的算数中的分配律不一样，不过也可以用“连代责任”直观理解。
“连代责任”有两种理解方式：
只要有一个人犯错，两个人都要受罚，这是“或”的思想。
两个人都不犯错，才能不受罚，这是“与”的思想。
这两种思想之间就差一个“非”运算，这就是“摩根律”的直观表现（有兴趣的读者可以多考虑一下其中的细节）。
上文冷不防提了一句：布尔代数也成了一部分大学生的噩梦。
看到现在，一些读者可能也不觉得布尔代数有难度，怎么就成了一部分大学生的噩梦？
如果你真有上面那种想法，那是因为我之前没有展示布尔代数的各种混合运算：
A+B=A+A'B
AB=A(A'+B)
A+AB=A
((AA)'(AA)')'=A
((A+A)'+(A+A)')'=A
温馨提示：布尔代数中的具体数字只能取0和1。
上面提到的那些混合运算，仅仅只是对布尔代数的表达式进行化简的基础知识。
学数字电子技术的时候，就经常会遇到这种问题：
Y=A'B'C+ABC+B'+C'
把上面式子化简成不含有“或”运算的形式，结果是这个样子：
Y==(BC(ABC)'(A'B'C)')'
当然，这种题在数字电子技术中，只是很平常的问题，并不算有难度。数字电子技术也因此成了一部分大学生的噩梦。
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